TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Configuração eletrônica dos elementos químicos (página de dados)

Neste artigo estão tabuladas as configurações eletrônicas dos átomos gasosos neutros em seus estados fundamentais. Para cada átomo, as sub-camadas são fornecidas primeiro de forma concisa, depois com todas as sub-camadas escritas, seguidas pelo número de elétrons por camada. Configurações eletrônicas de elementos além do hássio (elemento 108), incluindo aqueles dos elementos não descobertos além do oganesson (elemento 118), são previstas.

Como regra aproximada, as configurações eletrônicas são dadas pelo princípio de Aufbau e pela regra de Madelung. Existem inúmeras exceções; por exemplo, uma das exceções é ​​o cromo, que deveria ter a configuração 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d4 4s2, escrita como [Ar] 3d4 4s2, mas cuja configuração real dada na tabela abaixo é [Ar] 3d5 4s1.

Essas configurações de elétrons são dadas para átomos neutros na fase gasosa, que não são as mesmas que as configurações de elétrons para os mesmos átomos em outros ambientes químicos. Em muitos casos, várias configurações estão dentro de uma pequena faixa de energia e as irregularidades mostradas acima são bastante irrelevantes quimicamente.[1] Para elementos com posição acima de 120, as configurações devem ser consideradas muito provisórias e, em alguns casos, a mistura de configurações é relevante.[2]

• 3Referências

Tabela

1 H Hidrogênio : 1s¹
1s¹
1
2 He Hélio : 1s²
1s²
2
3 Li Lítio : 1s² 2s¹
1s²	2s¹
2	1
4 Be Berílio : 1s² 2s²
1s²	2s²
2	2
5 B Boro : 1s² 2s² 2p¹
1s²	2s²	2p¹
2	3
6 C Carbono : 1s² 2s² 2p²
1s²	2s²	2p²
2	4
7 N Nitrogênio : 1s² 2s² 2p3
1s²	2s²	2p3
2	5
8 O Oxigénio : 1s² 2s² 2p4
1s²	2s²	2p4
2	6
9 F Flúor : 1s² 2s² 2p5
1s²	2s²	2p5
2	7
10 Ne Néon : 1s² 2s² 2p6
1s²	2s²	2p6
2	8
11 Na Sódio : [Ne] 3s¹
1s²	2s²	2p6	3s¹
2	8		1
12 Mg Magnésio : [Ne] 3s²
1s²	2s²	2p6	3s²
2	8		2
13 Al Alumínio : [Ne] 3s² 3p¹
1s²	2s²	2p6	3s²	3p¹
2	8		3
14 Si Silício : [Ne] 3s² 3p²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p²
2	8		4
15 P Fósforo : [Ne] 3s² 3p3
1s²	2s²	2p6	3s²	3p3
2	8		5
16 S Enxofre : [Ne] 3s² 3p4
1s²	2s²	2p6	3s²	3p4
2	8		6
17 Cl Cloro : [Ne] 3s² 3p5
1s²	2s²	2p6	3s²	3p5
2	8		7
18 Ar Árgon : [Ne] 3s² 3p6
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6
2	8		8
19 K Potássio : [Ar] 4s¹
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6		4s¹
2	8		8			1
20 Ca Cálcio : [Ar] 4s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6		4s²
2	8		8			2
21 Sc Escândio : [Ar] 3d¹ 4s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d¹	4s²
2	8		9			2
22 Ti Titânio : [Ar] 3d² 4s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d²	4s²
2	8		10			2
23 V Vanádio : [Ar] 3d3 4s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d3	4s²
2	8		11			2
24 Cr Crômio : [Ar] 3d5 4s1 (distribuição eletrónica irregular)
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d5	4s¹
2	8		12			1
25 Mn Manganês : [Ar] 3d5 4s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d5	4s²
2	8		13			2
26 Fe Ferro : [Ar] 3d6 4s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d6	4s²
2	8		14			2
27 Co Cobalto : [Ar] 3d7 4s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d7	4s²
2	8		15			2
28 Ni Níquel : [Ar] 3d8 4s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d8	4s²
2	8		16			2
29 Cu Cobre : [Ar] 3d10 4s1 (distribuição eletrónica irregular)
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s1
2	8		18			1
30 Zn Zinco : [Ar] 3d10 4s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²
2	8		18			2
31 Ga Gálio : [Ar] 3d10 4s² 4p¹
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p¹
2	8		18			3
32 Ge Germânio : [Ar] 3d10 4s² 4p²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p²
2	8		18			4
33 As Arsénio : [Ar] 3d10 4s² 4p3
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p3
2	8		18			5
34 Se Selénio : [Ar] 3d10 4s² 4p4
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p4
2	8		18			6
35 Br Bromo : [Ar] 3d10 4s² 4p5
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p5
2	8		18			7
36 Kr Crípton : [Ar] 3d10 4s² 4p6
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6
2	8		18			8
37 Rb Rubídio : [Kr] 5s¹
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6			5s¹
2	8		18			8				1
38 Sr Estrôncio : [Kr] 5s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6			5s²
2	8		18			8				2
39 Y Ítrio : [Kr] 4d¹ 5s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d¹		5s²
2	8		18			9				2
40 Zr Zircónio : [Kr] 4d² 5s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d²		5s²
2	8		18			10				2
41 Nb Nióbio : [Kr] 4d3 5s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d3		5s²
2	8		18			11				2
42 Mo Molibdénio : [Kr] 4d4 5s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d4		5s²
2	8		18			12				2
43 Tc Tecnécio : [Kr] 4d5 5s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d5		5s²
2	8		18			13				2
44 Ru Ruténio : [Kr] 4d6 5s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d6		5s²
2	8		18			14				2
45 Rh Ródio : [Kr] 4d7 5s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d7		5s²
2	8		18			15				2
46 Pd Paládio : [Kr] 4d8 5s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d8		5s²
2	8		18			16				2
47 Ag Prata : [Kr] 4d9 5s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d9		5s²
2	8		18			17				2
48 Cd Cádmio : [Kr] 4d10 5s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10		5s2
2	8		18			18				2
49 In Índio : [Kr] 4d10 5s² 5p¹
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10		5s²	5p¹
2	8		18			18				3
50 Sn Estanho : [Kr] 4d10 5s² 5p²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10		5s²	5p²
2	8		18			18				4
51 Sb Antimónio : [Kr] 4d10 5s² 5p3
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10		5s²	5p3
2	8		18			18				5
52 Te Telúrio : [Kr] 4d10 5s² 5p4
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10		5s²	5p4
2	8		18			18				6
53 I Iodo : [Kr] 4d10 5s² 5p5
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10		5s²	5p5
2	8		18			18				7
54 Xe Xénon : [Kr] 4d10 5s² 5p6
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10		5s²	5p6
2	8		18			18				8
55 Cs Césio : [Xe] 6s¹
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10		5s²	5p6			6s¹
2	8		18			18				8				1
56 Ba Bário : [Xe] 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10		5s²	5p6			6s²
2	8		18			18				8				2
57 La Lantânio : [Xe] 4f¹ 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f¹	5s²	5p6			6s²
2	8		18			19				8				2
58 Ce Cério : [Xe] 4f² 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f²	5s²	5p6			6s²
2	8		18			20				8				2
59 Pr Praseodímio : [Xe] 4f3 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f3	5s²	5p6			6s²
2	8		18			21				8				2
60 Nd Neodímio : [Xe] 4f4 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f4	5s²	5p6			6s²
2	8		18			22				8				2
61 Pm Promécio : [Xe] 4f5 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f5	5s²	5p6			6s²
2	8		18			23				8				2
62 Sm Samário : [Xe] 4f6 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f6	5s²	5p6			6s²
2	8		18			24				8				2
63 Eu Európio : [Xe] 4f7 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f7	5s²	5p6			6s²
2	8		18			25				8				2
64 Gd Gadolínio : [Xe] 4f7 5d1 6s² (distribuição eletrónica irregular)
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f7	5s²	5p6			6s²
2	8		18			26				8				2
65 Tb Térbio : [Xe] 4f9 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f9	5s²	5p6			6s²
2	8		18			27				8				2
66 Dy Disprósio : [Xe] 4f10 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f10	5s²	5p6			6s²
2	8		18			28				8				2
67 Ho Hólmio : [Xe] 4f11 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f11	5s²	5p6			6s²
2	8		18			29				8				2
68 Er Érbio : [Xe] 4f12 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f12	5s²	5p6			6s²
2	8		18			30				8				2
69 Tm Túlio : [Xe] 4f13 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f13	5s²	5p6			6s²
2	8		18			31				8				2
70 Yb Itérbio : [Xe] 4f14 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6			6s²
2	8		18			32				8				2
71 Lu Lutécio : [Xe] 4f14 5d¹ 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d¹		6s²
2	8		18			32				9				2
72 Hf Háfnio : [Xe] 4f14 5d² 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d²		6s²
2	8		18			32				10				2
73 Ta Tântalo : [Xe] 4f14 5d3 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d3		6s²
2	8		18			32				11				2
74 W Tungstênio : [Xe] 4f14 5d4 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d4		6s²
2	8		18			32				12				2
75 Re Rênio : [Xe] 4f14 5d5 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d5		6s²
2	8		18			32				13				2
76 Os Ósmio : [Xe] 4f14 5d6 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d6		6s²
2	8		18			32				14				2
77 Ir Irídio : [Xe] 4f14 5d7 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d7		6s²
2	8		18			32				15				2
78 Pt Platina : [Xe] 4f14 5d8 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d8		6s²
2	8		18			32				16				2
79 Au Ouro : [Xe] 4f14 5d10 6s¹
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d9		6s¹
2	8		18			32				17				1
80 Hg Mercúrio : [Xe] 4f14 5d10 6s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10		6s²
2	8		18			32				18				2
81 Tl Tálio : [Xe] 4f14 5d10 6s² 6p¹
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10		6s²	6p¹
2	8		18			32				18				3
82 Pb Chumbo : [Xe] 4f14 5d10 6s² 6p²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10		6s²	6p²
2	8		18			32				18				4
83 Bi Bismuto : [Xe] 4f14 5d10 6s² 6p3
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10		6s²	6p3
2	8		18			32				18				5
84 Po Polônio : [Xe] 4f14 5d10 6s² 6p4
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10		6s²	6p4
2	8		18			32				18				6
85 At Astato : [Xe] 4f14 5d10 6s² 6p5
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10		6s²	6p5
2	8		18			32				18				7
86 Rn Radônio : [Xe] 4f14 5d10 6s² 6p6
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10		6s²	6p6
2	8		18			32				18				8
87 Fr Frâncio : [Rn] 7s¹
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10		6s²	6p6		7s¹
2	8		18			32				18				8			1
88 Ra Rádio : [Rn] 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10		6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				18				8			2
89 Ac Actínio : [Rn] 5f¹ 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f¹	6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				19				8			2
90 Th Tório : [Rn] 5f² 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f²	6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				20				8			2
91 Pa Protactínio : [Rn] 5f3 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f3	6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				21				8			2
92 U Urânio : [Rn] 5f4 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f4	6s²	6p6	gulag	7s²
2	8		18			32				22				8			2
93 Np Neptúnio : [Rn] 5f5 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f5	6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				23				8			2
94 Pu Plutônio : [Rn] 5f6 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f6	6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				24				8			2
95 Am Amerício : [Rn] 5f7 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f7	6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				25				8			2
96 Cm Cúrio : [Rn] 5f8 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f8	6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				26				8			2
97 Bk Berquélio : [Rn] 5f9 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f9	6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				27				8			2
98 Cf Califórnio : [Rn] 5f10 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f10	6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				28				8			2
99 Es Einstênio : [Rn] 5f11 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f11	6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				29				8			2
100 Fm Férmio : [Rn] 5f12 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f12	6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				30				8			2
101 Md Mendelévio : [Rn] 5f13 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f13	6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				31				8			2
102 No Nobélio : [Rn] 5f14 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f14	6s²	6p6		7s²
2	8		18			32				32				8			2
103 Lr Laurêncio : probably [Rn] 5f14 7s² 6d¹
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f14	6s²	6p6	6d¹	7s²
2	8		18			32				32				9			2
104 Rf Rutherfórdio : probably [Rn] 5f14 6d² 7s²
1s²	2s²	2p6	3s²	3p6	3d10	4s²	4p6	4d10	4f14	5s²	5p6	5d10	5f14	6s²	6p6	6d²	7s²
2	8		18			32				32				10			2

Bibliografia

NIST (Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia)

• Ground Levels and Ionization Energies for the Neutral Atoms - NIST Standard Reference Database 111 ; acessado em 7 de novembro de 2020, (elementos 1–104) baseado no:
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Este site também é citado no Manual do CRC como fonte da Seção 1, subseção Configuração de elétrons de átomos neutros no estado fundamental.

• 91 Pa : [Rn] 5f²(3H4) 6d 7s²
• 92 U : [Rn] 5f3(4Io9/2) 6d 7s²
• 93 Np : [Rn] 5f4(5I4) 6d 7s²
• 103 Lr : [Rn] 5f14 7s² 7p¹ question-marked
• 104 Rf : [Rn] 5f14 6d² 7s² question-marked

CRC

• David R. Lide (ed), CRC Handbook of Chemistry and Physics, 84th Edition, versão online. CRC Press. Boca Raton, Florida, 2003; Section 1, Basic Constants, Units, and Conversion Factors; Electron Configuration of Neutral Atoms in the Ground State. (elementos 1–104)
• Também subseção Tabela Periódica dos Elementos, (elementos 1–103) baseado em:
  • G. J. Leigh, Editor, Nomenclature of Inorganic Chemistry, Blackwell Scientific Publications, Oxford, 1990.
  • Chemical and Engineering News, 63(5), 27, 1985.
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WebElements (Lista de elementos químicos)

• The periodic table of the elements; acessado em novembro de 2020, configurações eletrônicas baseadas em:
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  • R.L. DeKock and H.B. Gray em Chemical Structure and bonding, Benjamin/Cummings, Menlo Park, California, USA, 1980.
  • A.M. James and M.P. Lord iem Macmillan's Chemical and Physical Data, Macmillan, London, UK, 1992.

• 103 Lr : [Rn].5f14.7s².7p¹ tentativa ; 2.8.18.32.32.9.2 [inconsistente]
• 104 Rf : [Rn].5f14.6d².7s² tentativa
• 105 Db : [Rn].5f14.6d3.7s² (uma estimativa baseada no tântalo) ; 2.8.18.32.32.11.2
• 106 Sg : [Rn].5f14.6d4.7s² (uma estimativa baseada no tungstênio) ; 2.8.18.32.32.12.2
• 107 Bh : [Rn].5f14.6d5.7s² (uma estimativa baseada no rênio) ; 2.8.18.32.32.13.2
• 108 Hs : [Rn].5f14.6d6.7s² (uma estimativa baseada no ósmio) ; 2.8.18.32.32.14.2
• 109 Mt : [Rn].5f14.6d7.7s² (uma estimativa baseada no irídio) ; 2.8.18.32.32.15.2
• 110 Ds : [Rn].5f14.6d9.7s¹ (uma estimativa baseada na platina) ; 2.8.18.32.32.16.2
• 111 Rg : [Rn].5f14.6d10.7s¹ (uma estimativa baseada no ouro) ; 2.8.18.32.32.17.2
• 112 Uub : [Rn].5f14.6d10.7s² (uma estimativa baseada no mercúrio) ; 2.8.18.32.32.18.2
• 113 Uut : [Rn].5f14.6d10.7s².7p¹ (uma estimativa baseada no tálio) ; 2.8.18.32.32.18.3
• 114 Uuq : [Rn].5f14.6d10.7s².7p² (uma estimativa baseada no chumbo) ; 2.8.18.32.32.18.4
• 115 Uup : [Rn].5f14.6d10.7s².7p3 (uma estimativa baseada no bismuto) ; 2.8.18.32.32.18.5
• 116 Uuh : [Rn].5f14.6d10.7s².7p4 (uma estimativa baseada no polônio) ; 2.8.18.32.32.18.6
• 117 Uus : [Rn].5f14.6d10.7s².7p5 (uma estimativa baseada no astato) ; 2.8.18.32.32.18.7
• 118 Uuo : [Rn].5f14.6d10.7s².7p6 (uma estimativa baseada no radônio) ; 2.8.18.32.32.18.8

Uma caminhada quântica em tempo contínuo ou CTQW (em inglês "Continuous-time quantum walk"), é uma caminhada em um determinado grafo conectado que é ditada por uma matriz unitária variando no tempo que se baseia no Hamiltoniano do sistema quântico^[1] e na matriz de adjacência.^[2][3]

Definição matemática

Uma caminhada quântica contínua (CTQW) em um grafo G = (V,E), onde V é o conjunto de vértices (nós) e E é o conjunto de arestas que conectam os nós, é definido da seguinte maneira:

• Deixe que A seja a matriz de adjacência |V| ${\displaystyle \times }$ |V| de G com elementos

${\displaystyle A_{u,v}=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{se }}{\textrm {\{u,v\}}}{\text{ }}\epsilon {\text{ }}E\\0&{\text{caso contrário}}\end{matrix}}\right.}$

/

e D ser a matriz de grau^[4][5] |V| ${\displaystyle \times }$ |V| de G (para o qual a entrada diagonal correspondente ao vértice v é grau (v)), e deixe L = D - A, ser a matriz laplaciana^[6][7][8] correspondente que é semidefinida positiva. A caminhada quântica em tempo contínuo no gráfico G é então definida pela matriz unitária

${\displaystyle \,U(t)=e^{-itL}}$  

/  TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

SEGUE PARA OUTRAS EQUAÇÕES E FUNÇÕES. ABAIXO. E DENTRO DA MECÂNICA QUÂNTICA.

onde ${\displaystyle i}$ é a unidade imaginária e a matriz ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. A probabilidade de uma caminhada a partir do vértice ${\displaystyle u}$ terminando no vértice ${\displaystyle v}$ no tempo ${\displaystyle t}$ é dado por ${\displaystyle \left|\langle v|U(t)|u\rangle \right|^{2}}$.Consequentemente, a partir do estado quântico ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$ e realizando uma caminhada quântica para o tempo ${\displaystyle t}$ resultará no novo estado ${\displaystyle |\psi _{t}\rangle =U(t)|\psi _{0}\rangle }$ e medição irá assim localizar a caminhada no vértice ${\displaystyle v}$ com a probabilidade ${\displaystyle \left|\langle v|U(t)|\psi _{0}\rangle \right|^{2}}$.^[9]

Ordenação de tempo

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Na teoria quântica de campos a ordenação de tempo é útil para tirar produto de operadores. Esta operação é designada por ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$^[1]. Para dois operadores A (x) e B (y), que dependem em locais de espaço-tempo x e y nós definimos:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}x_{0}>y_{0},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}x_{0}<y_{0}.\end{cases}}}$

Aqui ${\displaystyle x_{0}}$ and ${\displaystyle y_{0}}$ designam as coordenadas-tempo dos pontos x e y.^[2]

De forma explícita temos

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (x_{0}-y_{0})A(x)B(y)\pm \theta (y_{0}-x_{0})B(y)A(x),}$

Teoria quântica de campos

(Diagramas de Feynman)

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onde ${\displaystyle \theta }$ representa a função de passo Heaviside e o ${\displaystyle \pm }$ depende se os operadores em natureza são Bósonicos ou Férmionicos. Se bosônico, então o sinal de ${\displaystyle +}$ é sempre escolhido, se fermiônico então, o sinal vai depender do número de interligação necessárias para atingir o operador de ordem temporal adequada.^[3]

Uma vez que os operadores dependem de sua localização no espaço-tempo (ou seja, não apenas no tempo), esta operação em ordenação de tempo só é coordenada independente se os operadores do tipo espacial ^{[nota 1]} em pontos separados comutam^[4]. Note que a ordenação tempo é em geral escrita com o argumento de tempo aumentando da direita para a esquerda. Em geral, para o produto de n operadores de campo A₁(t₁), …, A_n(t_n) o produto do tempo ordenado dos operadores são definidos da seguinte forma:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})}$

onde a soma é executada em todo p's e sobre o grupo simétrico ^{[5] [nota 2]} n graus de permutações e

${\displaystyle \varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{para os operadores bosônicos,}}\\{\text{sinal da permutação}}&{\text{para os operadores fermiônicos.}}\end{cases}}}$

Matriz de dispersão

A matriz de dispersão ^{[nota 3]}(ou matriz de espalhamento^[6]) de em teoria quântica de campos é um exemplo de um produto de tempo ordenado. A matriz de dispersão transformando o estado em t =−∞ para um estado em t = +∞, pode também ser considerada como uma espécie de "holonomia^[7]", análoga à linha de Wilson. Obtemos uma expressão ordenada no tempo devido ao seguinte motivo:

Começamos com esta fórmula simples para o exponencial

${\displaystyle \exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.}$

Agora, considere a evolução discretizada do operador

${\displaystyle S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots }$

onde ${\displaystyle 1+h_{j}}$ é o operador de evolução ao longo de um intervalo ${\displaystyle [j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]}$ de tempo infinitesimal. Os termos de ordem superiores podem ser negligenciados no limite ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$. O operador ${\displaystyle h_{j}}$ é definido por

${\displaystyle h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).}$

Note-se que os operadores de evolução ao longo dos intervalos de tempo "passado" é exibido no lado direito do produto. Nós vemos que a fórmula é análoga à identidade acima satisfeita pelo exponencial, e podemos escrever

${\displaystyle S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).}$

A única sutileza que tivemos que incluir foi o operador ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ de ordenação de tempo porque os fatores no produto que definem S acima foram tempo-ordenados, também (e os operadores não comutam, em geral) e o operador ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ garante que este ordenação será preservada.

A quantização de Landau na mecânica quântica é a quantização das órbitas cíclotron de partículas carregadas em campos magnéticos. Como resultado, as partículas carregadas somente podem ocupar órbitas com valores de energia discretos, denominados níveis de Landau.^[1] Os níveis de Landau são degenerados, com o número de elétrons por nível diretamente proporcional à intensidade do campo magnético aplicado. A quantização de Landau é diretamente responsável por oscilações nas propriedades eletrônicas de materiais em função do campo magnético aplicado. Esta quantização leva o nome do o físico soviético Lev Landau.^[2]

Índice

• 1Dedução
• 2Níveis de Landau
• 3Discussão
• 4Níveis de Landau no calibre simétrico
• 5Efeitos da transformação de calibre
• 6Ver também
• 7Referências
• 8Bibliografia

Dedução

Considere um sistema em duas dimensões de partículas não-interagentes com carga q e spin S confinadas em uma área A = L_xL_y no plano xy.

Aplica-se um campo magnético uniforme ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$ ao longo do eixo z. Em unidades CGS, o hamiltoniano do sistema é

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c)^{2}.}$

Aqui p̂ é o operador momento canônico e Â é o potencial vetor eletromagnético, o qual é relacionado ao campo magnético por

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times {\hat {\mathbf {A} }}.\,}$

Existe uma liberdade na escolha do calibre para o potencial vetor para um dado campo magnético. O hamiltoniano é invariante sob o calibre, o que significa que a adição do gradiente de um campo escalar ao A altera a fase global da função de onda por um valor correspondente ao campo escalar. Porém as propriedades físicas não são influenciadas pela escolha específica do calibre. Para simplificar os cálculos, vamos adotar o calibre de Landau, o qual diz que

${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}0\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$

onde B=|B| e x̂ é a componente x do operador posição.

Neste calibre, o hamiltoniano passa a ser escrito como

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-{\frac {qB{\hat {x}}}{c}}\right)^{2}.}$

O operador ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ comuta com este hamiltoniano, desde que o operador ŷ desaparece após a escolha do calibre. Então o operador ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ pode ser substituído pelo seu autovalor hk_y .

O hamiltoniano também pode ser escrito em uma maneira mais simples após notar que a frequência de cíclotron é ω_c = qB/mc, assim

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{c}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{c}}}\right)^{2}.}$

Este é exatamente o hamiltoniano do oscilador harmônico quântico, exceto com o mínimo do potencial deslocado na coordenada espacial por

x₀ = hk_y/m?_c .

Para encontrar as energias, note que ao transladar o potencial do oscilador harmônico as energias não são alteradas. As energias do sistema são idênticas aquelas padrão do oscilador harmônico quântico,

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\quad n\geq 0~.}$

A energia não depende do número quântico k_y, então haverá degenerescência.

Para as funções de ondas, recordamos que ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ comuta com o hamiltoniano. Então a função de onda é dada pelo produto entre os autoestados do momento na direção y e os autoestados do oscilador harmônico ${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$ deslocados por um fator x₀ na direção x:

${\displaystyle \Psi (x,y)=e^{ik_{y}y}\phi _{n}(x-x_{0})~.}$

Em suma, o estado do elétron é caracterizado por dois números quânticos, n e k_y .

Níveis de Landau

Cada conjunto de funções de onda com o mesmo valor de n é chamado de nível de Landau. Efeitos dos níveis de Landau são observados somente quando a energia térmica média é menor do que a separação entre os níveis de Landau, kT ≪ ħω_c, o que significa que o sistema tem que estar definido a baixas temperaturas e campos magnéticos intensos. Cada nível de Landau é degenerado devido ao segundo número quântico k_y, o qual pode assumir valores

${\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}}}$,

onde N é um inteiro. Os valores permitidos para N são restritos pela condição de que o centro da força do oscilador, x₀, deve fisicamente ser definida dentro do sistema . Isto leva ao seguinte alcance para N,

${\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{c}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}$

Para partículas com carga q = Ze, o limite superior de N pode ser escrito de maneira mais simples como razão dos fluxos magnéticos,

${\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(hc/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$

onde F₀ = h/2e o fluxo magnético quântico fundamental e F = BA é o fluxo através do sistema (com área A = L_xL_y).

Então, para partículas com spin S, o número máximo D de partículas por nível de Landau é

${\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~.}$

Os resultados acima informam apenas uma ideia aproximada dos efeitos de um sistema que é definido dentro de um espaço finito. Falando estritamente, a utilização da solução padrão do oscilador harmônico é apenas válida para sistemas sem limitações na direção -x. Se o tamanho L_x é finito, as condições de fronteiras nesta direção dão origem as condições de quantização não-padrão sobre o campo magnético, envolvendo (a princípio) ambas as soluções da equação de Hermite. O enchimento destes níveis com muitos elétrons ainda é ^[3] uma área de pesquisa muito ativa. Em geral, os níveis de Landau são observados em sistemas eletrônicos, onde Z=1 and S=1/2. Enquanto o campo magnético aumenta, mais e mais elétrons preenchem cada nível de Landau. A ocupação do nível de Landau mais energético varia de completamente preenchido a completamente vazio, resultando em oscilações da suscetibilidade magnética em função da intensidade do campo magnético (ver efeito de Haas–van Alphen e Shubnikov–de Haas effect).

Se o efeito Zeeman é considerado, cada nível de Landau é dividido em um par, um para o spin up do elétron e outro para spin down do elétron. Então a ocupação de cada spin no nível de Landau é apenas a razão entre os fluxos D = F/F₀. O efeito Zeeman tem efeito significativo nos níveis de Landau já que suas escalas de energia são as mesmas, 2μ_BB = ħω . Entretanto, a energia de Fermi e a energia do estado fundamental se mantém mais ou menos da mesma forma do que em um sistema com muitos níveis cheios, uma vez que os pares divididos dos níveis de energia cancelam um ao outro quando somados.

Discussão

Esta derivação trata x e y como sendo ligeiramente assimétricos. Entretanto, pela simetria do sistema, não existe nenhuma quantidade física que distingue essas coordenadas. O mesmo resultado poderia ser obtido com a apropriada mudança entre x e y.

Além disso, a derivação acima assume que um elétron está confinado na direção-z o que é irrelevante em uma situação experimental - por exemplo na descrição de gases de elétrons em um espaço bidimensional. Ainda assim, esta hipótese não é essencial para os resultados. Se os elétrons são livres para se moverem ao longo da direção-z, a função de onda adquire um termo multiplicativo exp(ik_zz); a energia que corresponde a este movimento livre, (h k_z)²/(2m), é adicionado ao E discutido anteriormente. Este termo então preenche a separação de energia dos diferentes níveis de Landau, obscurecendo o efeito da quantização. No entanto, o movimento no plano-xy, perpendicular ao campo magnético, ainda é quantizada.

Níveis de Landau no calibre simétrico

O calibre simétrico se refere a seguinte escolha :${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}}$

Em termos das dimensões de comprimento e energia, o hamiltoniano pode ser escrita como

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}$

As unidades corretas podem ser recuperadas introduzindo os fatores ${\displaystyle q,c,\hbar ,\mathbf {B} }$ and ${\displaystyle m}$

Considere os seguintes operadores

${\displaystyle {\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

Estes operadores obedecem as seguintes relações de comutação

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1}$.

Em termos dos operadores descritos acima, o hamiltoniano passa a ser escrito como

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}}$

O índice do nível de Landau ${\displaystyle n}$ é o autovalor do operador ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$

A componente z do momento angular é

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})}$

Explorando a propriedade ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0}$ escolhemos as autofunções que diagonalizam ${\displaystyle {\hat {H}}}$ e ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$. Os autovalores de ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ são denotados por ${\displaystyle -m\hbar }$, onde é claro que ${\displaystyle m\geq -n}$ no ${\displaystyle n}$-nível de Landau. Entretanto, pode ser arbitrariamente grande, tornando necessário para obter uma degenerescência infinita (ou uma degenerescência finita por unidade de área) exibida pelo sistema. A aplicação de ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$ aumenta o valor de ${\displaystyle m}$ por uma unidade enquanto preserva o valor de ${\displaystyle n}$, enquanto que a aplicação de simultânea de ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ aumenta o valor de ${\displaystyle n}$ e diminui o valor de ${\displaystyle m}$ por uma unidade. A analogia ao oscilador harmônico quântico fornece as seguintes soluções

${\displaystyle {\hat {H}}|n,m\rangle =E_{n}|n,m\rangle }$

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle |n,m\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m+n}}{\sqrt {(m+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle }$

Cada nível de Landau tem uma degenerescência em cada orbital que é rotulado pelo número quântico k_y e ${\displaystyle m}$ nos calibres de Landau e simétrico respectivamente. A degenerescência por unidade de área é a mesma em cada nível de Landau. Pode-se verificar que os estados acima correspondem a escolha de funções de onda proporcionais à

${\displaystyle \psi _{n,m}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m}e^{-|w|^{2}/4}}$

onde ${\displaystyle w=x+iy}$.

Em particular, o menor nível de Landau ${\displaystyle n=0}$ consiste de funções analíticas arbitrárias multiplicadas por uma Gaussiana, ${\displaystyle \psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}}$.

Efeitos da transformação de calibre

${\displaystyle {\vec {A}}\to {\vec {A}}'={\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\lambda ({\vec {x}})}$

A definição cinemática do momento é

${\displaystyle {\hat {\pi }}={\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c}$

onde ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ é o momento canônico. O hamiltoniano é invariante sob o calibre então ${\displaystyle \langle {\hat {\pi }}\rangle }$ e ${\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle }$ se mantém invariantes sob a transformação de calibre, mas ${\displaystyle \langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle }$ dependerá do calibre. Para observar o efeito da transformação de calibre no estado quântico da partícula, considere o estado com A e A' como um potencial vetor, com estados ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ e ${\displaystyle |\alpha '\rangle }$.

Como ${\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle }$ e ${\displaystyle \langle {\hat {\pi }}\rangle }$ são invariantes sob a transformação de calibre temos que

${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {x}}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {x}}|\alpha '\rangle }$

${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {\pi }}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {\pi '}}|\alpha '\rangle }$

${\displaystyle \langle \alpha |\alpha \rangle =\langle \alpha '|\alpha '\rangle }$

Considere um operador ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ tal que ${\displaystyle |\alpha '\rangle ={\mathcal {G}}|\alpha \rangle }$

a partir das relações acima deduzimos que

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }{\hat {x}}{\mathcal {G}}={\hat {x}}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }\left({\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}-{\frac {e{\vec {\nabla }}\lambda (x)}{c}}\right){\mathcal {G}}={\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }{\mathcal {G}}=1}$

a partir disso concluímos que

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\exp \left({\frac {ie\lambda ({\vec {x}})}{\hbar c}}\right)}$

Em física quântica, a Teoria de Regge é o estudo das propriedades analíticas de dispersão como função de momento angular. Por exemplo spin electrónico (elétrons) podem apresentar movimento de rotação em dois sentidos diferentes, por isso é que dois elétrons podem ocupar o mesmo nível ao mesmo tempo, ou 4 ou 8… . Elétrons e Quarks todos possuem Spin de 1/2 e Grávitons Spin 2^[1]. Aplicando a matemática Função Beta foi possível explicar a presença dessas linhas retas, como sendo filamentos^[2]. Assim nasceu a primeira teoria da corda chamada Primeira-quantificação da corda que se dividiram em cordas abertas e cordas fechadas. Cordas abertas têm menos modos de vibração que cordas fechadas, pois possuem as pontas livres, na corda fechada para manter as pontas fixas é necessário mais modos de vibração^[3]. Esta teoria não-relativística foi desenvolvido por Tullio Regge, em 1957.

Pólos de Regge

O exemplo mais simples dos pólos de Regge é fornecido pela abordagem mecânica quântica do potencial de Coulomb ${\displaystyle V(r)=-e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}r)}$ ou, diferentemente, pelo tratamento mecânico quântico da ligação ou dispersão de um elétron de massa e carga elétrica ${\displaystyle -e}$ de um próton de massa ${\displaystyle M}$ e carga ${\displaystyle +e}$. A energia ${\displaystyle E}$ da ligação do elétron ao próton é negativa, enquanto que, para a dispersão, a energia é positiva. A fórmula para a energia de ligação é a expressão:

${\displaystyle l\rightarrow l(E)=-n+g(E),\;\;g(E)=-1+i{\frac {\pi e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}h}}(2m'/E)^{1/2}.}$

Considerada como uma função complexa de ${\displaystyle E}$, essa expressão descreve no plano-${\displaystyle l}$ complexo um caminho que é chamado de "trajetória de Regge". Assim, nesta consideração, o momento orbital pode assumir valores complexos.

As trajetórias de Regge podem ser obtidas para muitos outros potenciais, em particular também para o potencial de Yukawa^[4].

As trajetórias de Regge aparecem como pólos da amplitude de dispersão^[5] ou na matriz-S relacionada. No caso do potencial de Coulomb considerado acima, esta matriz-S é dada pela seguinte expressão:

${\displaystyle S={\frac {\Gamma (l-g(E))}{\Gamma (l+g(E))}}e^{-i\pi l},}$

onde ${\displaystyle \Gamma (x)}$ é a função gama, uma generalização de fatorial ${\displaystyle (x-1)!}$.

Esta função gama é uma função meromorfa do seu argumento com pólos simples em ${\displaystyle x=-n,n=0,1,2,...}$. Assim, a expressão para ${\displaystyle S}$ (a função gama no numerador) possui pólos precisamente nesses pontos, que são dadas pela expressão acima para as trajetórias de Regge; por isso o nome pólos de Regge.