TEORIA UNIFICADORA TENSORIAL G+ GRACELI

 

 

TENSOR G+ GRACELI = ENERGIA = ONDAS = GEOMETRIA CURVA = GRAVIDADE E OUTROS CAMPOS = MOMENTUM = FENÔM

agosto 08, 2021

 

TEORIA UNIFICADORA TENSORIAL G+ GRACELI

agosto 06, 2021

 TEORIA TENSORIAL G+ GRACELI , VISA UNIFICAR TODA A FÍSICA ATRAVÉS DO TENSOR G+ PARA CAMPOS [GRAVIDADE, ELETROMAGNETISMO, FORTE E FRACO] ONDE O ESSENCIAL É O TENSOR G+ DE CAMPOS E MOVIMENTOS, ENERGIA E ESTRUTURAS.

E UNIFICAR TAMBÉM A QUÂNTICA COM AS RELATIVIDADES.

ENQUANTO NO SISTEMA SDCTIE GRACELI, O QUE SE TEM UM SISTEMA DE MAIS DE DUZENTAS DIMENSÕES COM SUAS VARIAÇÕES, E CATEGORIAS, ESTADOS FÍSICOS, QUÍMICO, FENOMÊNICOS E TRANSIÇÕES DE ESTRUTURAS, INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES, FORMANDO UM SISTEMA COM CINCO PILARES.

TENSOR G+ GRACELI =ENERGIA = ONDAS = GEOMETRIA CURVA = GRAVIDADE E OUTROS CAMPOS = MOMENTUM = FENÔMENOS = INTERAÇÕES = TRANSFORMAÇÕES = TEMPO = ESPAÇO

agosto 04, 2021

 

TEORIA GERAL DE GRACELI COM O TENSOR GRACELI = G + = TENSOR CURVATURA-ONDA-ENERGIA-CAMPOS GRACELI.

agosto 04, 2021

 TEORIA GERAL DE GRACELI COM O TENSOR GRACELI =  G +

ENERGIA = ONDAS = GEOMETRIA CURVA =  GRAVIDADE E OUTROS CAMPOS = MOMENTUM = FENÔMENOS = INTERAÇÕES = TRANSFORMAÇÕES = TEMPO = ESPAÇO

G + = GRAVIDADE E TENSOR CURVATURA-ONDA GRACELI. = RELAÇÃO DE CONTINUUM E UNICIDADE ENTRE ENERGIA, ONDAS, GEOMETRIA, E CAMPOS. = G + É MAIS ABRANGENTE E FORMA UMA UNICIDADE ENTRE A QUÂNTICA, RELATIVIDADES [GERAL E RESTRITA] GEOMETRIA, E TEORIA DE CAMPOS, ELETROQUÂNTICA, CORDAS, TEORIA M, E ELETROMAGNETISMO, E OUTRAS.

TENSOR CURVATURA-ONDA-ENERGIA-CAMPOS GRACELI. [CAMPOS: GRAVIDADE, ELETROMAGNETISMO, FORTE E FRACO].

RELAÇÃO DE CONTINUUM E UNICIDADE ENTRE ENERGIA, ONDAS, GEOMETRIA, E CAMPOS. = G +

CURVATURA-ONDA GRACELI NA GRAVIDADE, CAMPOS [ELETROMAGNÉTICO, FORTE FRACO, E NA QUÃNTICA].

agosto 04, 2021

 

CURVATURA-ONDA GRACELI.

agosto 04, 2021

TODA TEORIA QUÃNTICA ,E OUTROS RAMOS DA QUÃNTICA DEVE SER REESCRITA COM O TENSOR CURVATURA-ONDA DE GRACELI.

 

CURVATURA-ONDA  GRACELI.

SISTEMA FÍSICO GEOMÉTRICO QUE VARIA EM RELAÇÃO AO TEMPO, DE DENTRO PARA FORA NUM FLUXO DE COMEÇO-FIM CONTINUADO.

COM VARIAÇÕES NO ESPAÇO E TEMPO, MASSA E ENERGIA CONFORME O MOVIMENTO E A INTENSIDADE DA ONDA, FREQUÊNCIA E ALCANCE.

NUM CONTINUUM ESPAÇO-TEMPO-ENERGIA-MOMENTUM-MASSA-INTERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES.

COM EFEITO SOBRE GRAVIDADE, ELETROMAGNETISMO, E CAMPOS FORTE E FRACO.

OU SEJA, SE TEM UMA  RELAÇÃO ENTRE A QUÂNTICA DE CAMPOS E ONDAS, COM A RELATIVIDADE, E ONDE A RELATIVIDADE PASSA A SER ONDULATÓRIA. OBEDECENDO A CURVATURA ONDA PARTÍCULA DE GRACELI.

G + = GRAVIDADE E TENSOR CURVATURA-ONDA GRACELI. = RELAÇÃO DE CONTINUUM E UNICIDADE ENTRE ENERGIA, ONDAS, GEOMETRIA, E CAMPOS. = G +

COM ALCANCE PARA CAMPOS ELETTROMAGNÉTICO, E FORTE E FRACO.

G + = O SÍMBOLO G NO SISTEMA DE TENSOR E CURVATURA-ONDA GRACELI TANTO É A GRAVIDADE QUANTO O PRÓPRIO TENSOR CURVATURA-ONDA GRACELI, FORMANDO UMA RELAÇÃO E CONTÍNUUM ENTRE A QUÂNTICA [TEORIA DE ONDAS] E A RELATIVIDADE GERAL, E VARIAÇÕES DO ESPAÇO E TEMPO DENTRO DO SISTEMA DE TENSOR CURVATURA-ONDA GRACELI.

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial linear que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no final de 1925, e publicada em 1926, pelo físico austríaco Erwin Schrödinger.^[1]

Equação dependente do tempo

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante ${\displaystyle t}$ por ${\displaystyle \left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle }$. A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:^[7]

Equação de Schrödinger Dependente do Tempo (geral) ${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle }$ ------------------------------------------------------------------------------ G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Em que ${\displaystyle i}$ é a unidade imaginária, ${\displaystyle \hbar }$ é a constante de Planck dividida por ${\displaystyle 2\pi }$, e o Hamiltoniano ${\displaystyle {\hat {H}}}$ é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Equação independente do tempo

Equação unidimensional

Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[8]

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\left(x\right)+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)}$,

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

em que ${\displaystyle \psi \left(x\right)}$ é a função de onda independente do tempo em função da coordenada ${\displaystyle x}$; ${\displaystyle \hbar }$ é a constante de Planck ${\displaystyle h}$ dividida por ${\displaystyle 2\pi }$; ${\displaystyle m}$ é a massa da partícula; ${\displaystyle V\left(x\right)}$ é a função energia potencial e ${\displaystyle E}$ é a energia do sistema.

Equação multidimensional

Em mais de uma dimensão a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[9]

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{{\nabla }^{2}}\psi \left({\vec {r}}\right)+V\left({\vec {r}}\right)\psi \left({\vec {r}}\right)=E\psi \left({\vec {r}}\right)}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

em que ${\displaystyle {\nabla }^{2}\psi =\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{n}^{2}}}}$ 

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

é o operador laplaciano em ${\displaystyle N}$ dimensões aplicado à função ${\displaystyle \psi }$.

Relação com outros princípios

Uma maneira mais didática de observar a equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica: ${\displaystyle E_{m}=E_{c}+V}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Equação do Oscilador harmônico: ${\displaystyle \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}\psi =0}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Relação de De Broglie: ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Onde ${\displaystyle \psi }$ é a função de onda, ${\displaystyle \lambda }$ é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mv}}}$, 

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

${\displaystyle \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi mv}{h}}\right)^{2}\psi =0\to \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {-4(\pi )^{2}m^{2}v^{2}}{h^{2}}}\psi \to {\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=v^{2}\psi }$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Rearranjando a equação de energia, temos que ${\displaystyle v^{2}={\frac {2(E_{m}-V)}{m}}}$, 

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

substituindo ${\displaystyle v^{2}}$ na equação anterior:

${\displaystyle {\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=2(E_{m}-V)\psi }$ , 

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

definindo ${\displaystyle \hbar \ ={\frac {h}{2\pi }}}$,

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

 temos:

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi }$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:

${\displaystyle {\widehat {H}}\psi =E\psi }$,

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

 em que ${\displaystyle {\widehat {H}}\psi }$ é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.

Partícula em uma caixa rígida

Ver artigo principal: Partícula em uma caixa

Oscilador harmônico quântico

Ver artigo principal: Oscilador harmônico quântico

Assim como na mecânica clássica, a energia potencial do oscilador harmônico simples unidimensional é:^[10]

${\displaystyle V\left(x\right)={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Lembrando a relação ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$,

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

 também pode se escrever:

${\displaystyle V\left(x\right)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Então a equação de Schrödinger para o sistema é:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi =E\psi }$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Solucionando a equação de Schrödinger, obtém-se os seguintes estados estacionários:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad }$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

${\displaystyle n=0,1,2,\ldots .}$

em que H_n são os polinômios de Hermite.

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right)}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

E os níveis de energia correspondentes são:

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Isso ilustra novamente a quantização da energia de estados ligados.

Solução da Equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Diagrama das coordenadas esféricas.

Em mecânica quântica, a solução da Equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio é o processo de resolução da equação diferencial parcial formulada por Erwin Schrödinger em 1925 para o caso particular de duas partículas de cargas elétricas de mesmo módulo e sinal oposto (um elétron e um próton), em que a função energia potencial a que o elétron, a menor das duas partículas, está sujeito é da forma:^[1][2]

${\displaystyle V(r)=-{\frac {ke^{2}}{r^{2}}}}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Em que ${\displaystyle r}$ é a distância entre as partículas. Isto é, corresponde à interação, provocada pela força elétrica, entre próton e elétron característica de um átomo de Hidrogênio. Devido às consequências dramáticas se comparadas ao resultado do modelo clássico para essa situação, tal resolução é de extrema importância para a teoria atômica e, portanto, para a química, já que introduz os conceitos de orbital e números quânticos, a serem generalizados para outros elementos químicos, para além do Hidrogênio.^[2]

Para resolvê-la, a equação de Schrödinger independente do tempo é escrita em coordenadas esféricas, de modo que a função de onda ${\displaystyle \psi }$ seja tal que ${\displaystyle \psi =\psi (r,\theta ,\phi )}$.^[2] Dessa forma a equação, genericamente escrita como

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}{{\nabla }^{2}}\psi +V\psi =E\psi }$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

será escrita da seguinte maneira:^[2]

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\operatorname {sen} \theta {\partial \psi \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{\partial ^{2}\psi \over \partial \phi ^{2}}\right)-{\frac {ke^{2}}{r^{2}}}\psi =E\psi }$ ------------------------------------------------------------------------------ G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Em que ${\displaystyle m_{e}}$ é a massa do elétron e ${\displaystyle E}$ é uma energia bem definida, isto é, representa os autovalores possíveis da energia, que, por sua vez, representam estados estacionários.

Esse problema é um caso particular do problema de força central em três dimensões espaciais em mecânica quântica, caracterizado por uma função energia potencial da forma ${\displaystyle V=V(r)}$, podendo este potencial ter outras formas que não somente proporcionais ao inverso do quadrado da distância.^[2]

• 
  

Solução por separação de variáveis

Ver artigo principal: Separação de variáveis

Primeiramente, torna-se prático isolar o operador laplaciano do lado esquerdo da equação e retornar a escrever a energia potencial ${\displaystyle -{\frac {ke^{2}}{r^{2}}}}$ como ${\displaystyle V(r)}$, por compacticidade. Logo, a equação fica:^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\operatorname {sen} \theta {\partial \psi \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{\partial ^{2}\psi \over \partial \phi ^{2}}={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)\psi }$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Para encontrar as funções ${\displaystyle \psi =\psi (r,\theta ,\phi )}$ que são soluções da equação, utiliza-se o método da separação de variáveis, baseando-se no teorema que afirma que toda solução de uma equação diferencial parcial linear pode ser escrita como uma combinação linear de um conjunto (talvez infinito) de soluções separáveis, isto é, que possuem a seguinte forma:^[2]

${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )}$

Substituindo na equação de Schrödinger, percebe-se que a derivação só afetará uma das funções que compõem ${\displaystyle \psi }$, ou seja, já que não há derivadas cruzadas, somente uma dentre as três funções ${\displaystyle R(r)}$, ${\displaystyle \Theta (\theta )}$ e ${\displaystyle \Phi (\phi )}$ serão afetadas para cada termo. Além disso, as derivadas parciais tornar-se-ão derivadas ordinárias, já que cada uma dessas funções depende somente da variável em relação a qual a função está sendo derivada, resultando em:^[2]

${\displaystyle {\frac {\Theta \Phi }{r}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)+{R\Phi \over r^{2}\operatorname {sen} \theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+{R\Theta \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)R\Theta \Phi }$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Multiplicando ambos os lados da equação por ${\displaystyle {\frac {r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{R\Theta \Phi }}}$, 

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

obtém-se:^[2]

${\displaystyle {\frac {r\operatorname {sen} ^{2}\theta }{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)+{\operatorname {sen} \theta \over \Theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+{1 \over \Phi }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Ao atentar-se, percebe-se que o termo que envolve o terceiro termo aditivo do lado esquerdo da equação é a única dependência em ${\displaystyle \phi }$ da equação inteira. Isolando-o, obtém-se:^[2]

${\displaystyle {1 \over \Phi }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta -{\frac {r\operatorname {sen} ^{2}\theta }{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)-{\operatorname {sen} \theta \over \Theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Como o lado esquerdo, depende somente de ${\displaystyle \phi }$ e como o lado direito depende somente de ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$, podemos escrever que o lado esquerdo é uma função ${\displaystyle f=f(\phi )}$ e o direito uma função ${\displaystyle g=g(r,\theta )}$. Logo, vale a seguinte igualdade:^[2]

${\displaystyle f(\phi )=g(r,\theta )}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Contudo, como as três coordenadas esféricas são variáveis independentes, a única maneira da igualdade entre as funções ser verdadeira é se ambas forem iguais a uma constante. Tal constante é tradicionalmente escrita como sendo ${\displaystyle -m^{2}}$, em que ${\displaystyle m}$ seja, a princípio, um número qualquer. Assim, as equações foram separadas, tornando-se duas equações diferenciais ordinárias distintas: uma dependente da variável ${\displaystyle \phi }$ e outra dependente das variáveis ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$ . Elas encontram-se abaixo:^[2]

Equação diferencial ordinária em ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {1 \over \Phi }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}=-m^{2}}$ ------------------------------------------------------------------------------ G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Equação diferencial ordinária em ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle -{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta +{\frac {r\operatorname {sen} ^{2}\theta }{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)+{\operatorname {sen} \theta \over \Theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)=m^{2}}$ ------------------------------------------------------------------------------ G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Nota-se que a segunda equação ainda possui variáveis acopladas e, portanto, deve-se separá-las de maneira similar à anterior. Para isso, divide-se a segunda equação por ${\displaystyle sen^{2}\theta }$ e se coloca o terceiro termo do lado esquerdo para o lado direito da equação, obtendo a seguinte expressão:^[2]

${\displaystyle -{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}+{\frac {r}{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)+{1 \over \Theta sen\theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)={\frac {m^{2}}{sen^{2}\theta }}\implies -{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}+{\frac {r}{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)={\frac {m^{2}}{sen^{2}\theta }}-{1 \over \Theta sen\theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Novamente, temos o lado esquerdo da equação dependente somente de ${\displaystyle r}$ e o lado direito dependente somente de ${\displaystyle \theta }$, podendo escrever que o lado esquerdo é uma função ${\displaystyle F=F(r)}$ e o direito uma função ${\displaystyle G=G(\theta )}$. Logo,é válida a seguinte igualdade:^[2]

${\displaystyle F(r)=G(\theta )}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

E, mais uma vez, a única maneira de isso se verificar é se ambas forem iguais a uma constante. Essa constante, por motivos que ficarão claros mais adiante na resolução, é convenientemente escrita como ${\displaystyle l(l+1)}$, em que ${\displaystyle l}$ é um número qualquer, a princípio. Assim, obtemos duas novas equações:

${\displaystyle {\frac {m^{2}}{sen^{2}\theta }}-{1 \over \Theta sen\theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)=l(l+1)}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

${\displaystyle -{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}+{\frac {r}{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)=l(l+1)}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Na primeira equação, passando os termos da esquerda para a direita e multiplicando-a pela função incógnita ${\displaystyle \Theta }$, obtemos:

Equação diferencial ordinária em ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {1 \over sen\theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+\left(l(l+1)-{\frac {m^{2}}{sen^{2}\theta }}\right)\Theta =0}$ ------------------------------------------------------------------------------ G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Na segunda equação, denominada equação radial, primeiramente se isola o segundo termo do lado esquerdo e depois se multiplica a equação por ${\displaystyle {\frac {R}{r}}}$, obtendo:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)=\left[{\frac {l(l+1)}{r}}+{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r\right]R}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Por fim, fatorando o termo ${\displaystyle {\frac {2m_{e}r}{\hbar ^{2}}}}$ do lado direito, conclui-se com a seguinte equação:

Equação diferencial ordinária em ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left[{\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{2m_{e}r^{2}}}+V(r)-E\right](rR)}$ ------------------------------------------------------------------------------ G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Solução da equação em ${\displaystyle \phi }$

A equação mais simples e a primeira a ser obtida é a equação da coordenada angular ${\displaystyle \phi }$ que, de fato, é idêntica à equação do oscilador harmônico simples.

Equação diferencial em ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {1 \over \Phi }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}=-m^{2}}$ ------------------------------------------------------------------------------ G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

É também possível escrevê-la, usando a notação ${\displaystyle \Phi ''={\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}}$,

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

 como:

${\displaystyle \Phi ''+m^{2}\Phi =0}$

Há duas maneiras principais de como escrever a solução geral dessa equação: como combinação linear de senos e cossenos ou como combinação linear de exponenciais imaginárias. Isto é:

${\displaystyle \Phi (\phi )=A\operatorname {sen}(m\phi )+B\cos(m\phi )}$

${\displaystyle \Phi (\phi )=Ae^{im\phi }+Be^{-im\phi }}$

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

É conveniente escolher a segunda forma, admitindo a possibilidade que ${\displaystyle m}$ possa ser tanto positivo quanto negativo, e omitindo a constante ${\displaystyle A}$, devido à propriedade de normalização da função de onda. Assim, a solução fica:

${\displaystyle \Phi (\phi )=e^{im\phi }}$, ${\displaystyle m\geq 0}$ ou ${\displaystyle m<0}$.

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Quantização de ${\displaystyle m}$

Usando a propriedade cíclica da função ${\displaystyle \Phi }$, isto é, que ${\displaystyle \Phi (\phi +2\pi )=\Phi (\phi )}$, obtemos o seguinte:

${\displaystyle \Phi (\phi +2\pi )=\Phi (\phi )\implies e^{im(\phi +2\pi )}=e^{im\phi }\implies e^{im\phi }.e^{im(2\pi )}=e^{im\phi }\implies e^{im(2\pi )}=1}$

Para que essa última exponencial imaginária seja igual a 1, ${\displaystyle m}$ tem de ser um número inteiro. Esse número é denominado o número quântico magnético.

${\displaystyle m=0,1,-1,2,-2,...}$ ------------------------------------------------------------------------------ G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Estado do gato

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Mecânica quântica

${\displaystyle {\Delta x}\,{\Delta p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Princípio da Incerteza

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Na mecânica quântica, o estado do gato, em homenagem ao gato de Schrödinger,^[1] é um estado quântico que é composto de duas condições diametralmente opostas ao mesmo tempo,^[2] como as possibilidades de um gato estar vivo e morto ao mesmo tempo. O gato de Schrödinger às vezes é conectado à hipótese dos muitos mundos por seus proponentes.^[3]

Estados do gato em modos únicos

Função de Wigner de um estado do gato Schrödinger

Em óptica quântica, um estado de gato é definido como a superposição quântica de dois estados coerentes de fase oposta de um único modo óptico^[4] (por exemplo, uma superposição quântica de grande campo elétrico positivo e grande campo elétrico negativo):

${\displaystyle |\mathrm {cat} _{e}\rangle \propto |\alpha \rangle +|{-}\alpha \rangle }$,

onde

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$,

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

e

${\displaystyle |{-}\alpha \rangle =e^{-{|{-}\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{({-}\alpha )^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$,

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

são estados coerentes definidos na base do número (Fock). Observe que se adicionarmos os dois estados juntos, o estado de gato resultante conterá apenas os termos do estado de Fock:

${\displaystyle |\mathrm {gato} _{e}\rangle \propto 2e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\left({\alpha ^{0} \over {\sqrt {0!}}}|0\rangle +{\alpha ^{2} \over {\sqrt {2!}}}|2\rangle +{\alpha ^{4} \over {\sqrt {4!}}}|4\rangle +\dots \right)}$.

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Como resultado dessa propriedade, o estado do gato acima é frequentemente referido como um estado do gato uniforme. Alternativamente, podemos definir um estado ímpar de gato como

${\displaystyle |\mathrm {gato} _{o}\rangle \propto |\alpha \rangle -|{-}\alpha \rangle }$,

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

que contém apenas estados Fock ímpares

${\displaystyle |\mathrm {gato} _{o}\rangle \propto 2e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\left({\alpha ^{1} \over {\sqrt {1!}}}|1\rangle +{\alpha ^{3} \over {\sqrt {3!}}}|3\rangle +{\alpha ^{5} \over {\sqrt {5!}}}|5\rangle +\dots \right)}$.

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G + Graceli, sdctie, + densidade de carga.

Estados coerentes pares e ímpares foram introduzidos pela primeira vez por Dodonov, Malkin e Man'ko em 1974.^[5]